Binomische Rechenspielerei

Die 42 ist eine vielbeschäftigte Zahl. Nicht nur ist sie die Ordnungszahl des Elements Molybdän und das zweite 16-Bit-Datenwort jeder TIFF-Datei, sie ist auch die nutzlose Antwort auf die berühmte Frage „nach dem Leben, dem Universum und dem ganzen Rest“.

Die binomischen Formeln gehören – ähnlich wie das Einmaleins, Bruchrechnen und so Sachen – zu den mathematischen Methoden und Grundlagen, die man man in der Schule eingetrichtert kriegt, damit man in den höheren Klassen einen möglichst großen Teil der simplen Umformerei und Ausmultipliziererei, die in der Mathematik gelegentlich anfallen, mit möglichst wenig aktivem Denkaufwand erledigen und sich auf die eigentliche Mathematik konzentrieren kann.

Einen beim Lernen unmittelbar erkennbaren Nutzen haben diese Formeln nicht. Und ganz ehrlich, ich habe die binomischen Formeln seit dem Abitur für nichts gebraucht, außer um meinem Kind bei den Mathe-Hausaufgaben zu helfen und aus dem Anlass jetzt hier diese Spielerei zu veranstalten. So richtig für’s Leben gelernt ist das in meinem Fall nicht. Aber in meinem Beruf muss ich natürlich auch wenig Mathematik treiben, bei anderer Berufswahl hätte das ganz anders aussehen können, aber egal.

Ich habe jetzt spontan die Vermutung, dass die binomischen Formeln irgendwie mit der 42 zu tun haben könnten. Oder eigentlich umgekehrt: Die 42 muss als Antwort auf die o.g. Frage auch mit den binomischen Formeln zu tun haben, die ja irgendwo im Leben, im Universum oder im ganzen Rest angesiedelt sind. Jetzt muss ich nur sehen, wie ich da eine Verbindung konstruiere herstelle diese Verbindung finde.

Vielleicht gibt es ja Werte für a und b, die mit einer der drei binomischen Formeln 42 ergeben. Um das herauszufinden, muss ich mit den Formeln rechnen. Weil ich nicht aufs Geratewohl irgendwelche Werte für a und b einsetzen will, bis irgendwann mal hoffentlich 42 herauskommt, gehe ich das systematisch an. Ich setze die Formel mit 42 gleich und versuche, die resultierende Gleichung nach einer der Variablen aufzulösen. Fange ich mit der ersten binomischen Formel an:

(a+b)^2=42 a^2+2ab+b^2=42

Schonmal sehr hübsch, aber wie ich das nach a oder b auflösen kann weiß ich nicht (jedenfalls nicht mehr aus dem Kopf). Deshalb werfe ich eine Suchmaschine an und finde auf dieser Übersicht einen Hinweis auf die Mitternachtsformel (zu kompliziert) und die pq-Formel (nicht ganz so schlimm). Damit forme ich meine Gleichung um und erhalte:

(a+b)^2=42 a^2+2ab+b^2=42 und b^2+2ab+a^2-42=0 b_1,2=-((-2a))/2±√((2a/2)-(a^2-42) )

Damit kann ich jetzt für jedes gewünschte a hübsch ausrechnen, mit welchem b sich als Lösung 42 ergibt. Da muss ich also ein bisschen rumprobieren. Die beiden anderen binomischen Formeln bereite ich entsprechend auf, es stehen also dreimal einige Rechnereien an.

Weil das Ausrechnen von Hand aber auch mit Taschenrechner etwas umständlich ist und ich das auch nicht ein paar Dutzendmal wiederholen möchte, nehme ich ein gängiges Tabellenkalkulationsprogramm her und baue die Formeln dort nach. Dazu definiere ich eine Zelle, in die ich die auszuprobierenden Werte für a eingebe, die das Programm dann durchrechnet.

Dann habe ich für die erste und die zweite binomische Formel je zwei Felder (die nach der pq-Formel umgestellte Gleichung enthält ja ein ±, was dann zwei Lösungen zur Folge hat, also brauche ich zwei Versionen für diese Formeln) mit den Formeln, die den vorher eingegebenen Wert für a einsetzen und mir die beiden zugehörigen b liefern. Die dritte binomische Formel hat nur je eine Lösung, da reicht ein Ausgabefeld.

Die Schreibweise ist etwas ungewohnt, aber eigentlich ist es nicht so schwierig. So sieht das dann aus:

1. binomische Formel:
=(-2*A2/2)+SQRT((2*A2/2)*(2*A2/2)-(A2*A2-42)) und
=(-2*A2/2)-SQRT((2*A2/2)*(2*A2/2)-(A2*A2-42))

2. binomische Formel:
=-(-2*A2/2)+SQRT((-2*A2/2)*(-2*A2/2)-(A2*A2-42)) und
=-(-2*A2/2)-SQRT((-2*A2/2)*(-2*A2/2)-(A2*A2-42))

3. binomische Formel:
=SQRT(A2*A2-42)

Dann probiere ich ein paar Werte für a durch. Erstmal von 1 bis 6, dann weiter bis 25, dann von 0 bis -25. Die errechneten Werte für b schreibe ich auf, je einen für die erste, zweite und dritte und einen für die zweite binomische Formel. Dann probiere ich denselben Zahlenraum für die dritte binomische Formel. Weil sich bei der dritten interessante Lücken ergeben (weil man da Wurzeln aus negativen Zahlen ziehen müsste, was nicht geht) stelle ich die dritte auch noch nach b um, baue neben das Eingabefeld für a noch eines für b und rechne das für b von -25 bis 25 durch.

Das händische Durchrechnen ist immer noch reichlich umständlich, weil ich jedes auszuprobierende a von Hand eintippen muss. Deshalb lasse ich das nach den ersten paar Durchgängen sein. Jetzt arbeite ich nicht mit einer einzelnen Zelle für a, sondern mache für jedes a eine Zeile auf. Eine Tabellenkalkulation mit erstmal 201 Zeilen für alle a von -100 bis 100.

Und weil ich ein misstrauischer Mensch bin und es doof fände, nach (trotz Halbautomatisierung der Rechnerei immer noch) langer Klickerei und Copypasterei festzustellen, dass da irgendeine Macke drinsteckt, bastele ich für jede der binomischen Formeln noch ein Kontrollfeld, das die für die jeweils unbekannte Variable errechneten Werte durch die jeweilige binomische Formel in gängiger Form jagt. Wenn da dann 42 rauskommt, ist alles in Ordnung.

Diese Ergebnisfelder habe ich übrigens als Zahlfelder mit 15 Nachkommastellen definiert, dann sehe ich an der meist guten Handvoll Nullen am Ende, dass da auch wirklich keine versteckten Stellen drinstecken, sondern die Werte wirklich genau sind und wirklich 42 rauskommt.

Am Ende habe ich eine Spalte mit Werten für b, zu a von -100 bis 100, die nach der 1. binomischen Formel berechnet sind, eine Spalte mit entsprechenden Werten nach der 2. binomischen Formel, eine Spalte mit entsprechenden Werten für b nach der 3. binomischen Formel und eine für die Werte für a nach der 3. binomischen Formel.

Diese Lösungen – also die Werte für a und b, die jeweils 42 ergeben – habe ich dann in Koordinatensysteme gepackt, das sieht dann so aus:

Wenn man die Ergebnisse der 1. und 2. binomischen Formeln kombiniert, kommt ein Gebilde heraus, das der Kurve der 3. binomischen Formel ähnelt:

Wie das jetzt alles zusammenhängt, ob es irgendetwas bedeutet und wenn ja was, kann ich leider nicht sagen, das muss sich jeder selbst zusammenreimen. Immerhin habe ich in dieser schönen Stunde in meinem selbstgebastelten Elfenbeinturm zeigen können, dass die 42 auch auf die binomischen Formeln eine vergleichsweise nutzlose Antwort liefert.


21 Kommentare on “Binomische Rechenspielerei”

  1. Yadgar sagt:

    Die 42 ist auch die Quersumme meines Geburtsdatums:
    1+9+7+1+9+6+9 = 42

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  2. Mindsplint sagt:

    ….der Text hätte auch japanisch sein können und ich bin sicher, ich hätte ihn genauso wenig verstanden. Da ist mir die Lösung von Douglas Adams schon lieber, der da sagte: „Die Antwort ist ganz einfach. Es war ein Scherz. Es musste eine Zahl sein, eine ganz gewöhnliche, eher kleine Zahl, und ich nahm diese. Binäre Darstellungen, Basis 13, tibetische Mönche, das ist totaler Unsinn. Ich saß an meinem Schreibtisch, starrte in den Garten hinaus und dachte: ‚42 passt‘. Ich tippte es hin. Das ist alles.“
    Aber du hast meine Bewunderung für deinen Versuch, die Durchführung und das Ergebnis!!!!!
    So – und jetzt muss ich erstmal ein Glas Wasser trinken, da mir vom Lesen schwindelig ist….. 🙃

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  3. Yadgar sagt:

    Also, meine „heilige Zahl“ ist seit Kindertagen die 720… es hat wohl unbewusst damit zu tun, dass 720 durch sehr viele Faktoren ganzzahlig teilbar und außerdem eine Fakultätszahl ist, nämlich 6! = 1*2*3*4*5*6 = 720.

    Wenn man Zahlen essen könnte, die 720 wäre feinster oberitalienischer Gianduja-Nougat!

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  4. Mindsplint sagt:

    Fakultätszahl – wieder was gelernt 🙂

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  5. gnaddrig sagt:

    @ Mindsplint: Es beruhigt mich fast, dass Du da nicht viel verstehst, weil so richtig viel Sinn enthält der Text nicht. Vielleicht habe ich auch einfach nicht genau genug erklärt, was ich da wie gerechnet habe, ist aber eigentlich auch ziemlich wurscht. Man kann sich eigentlich auf den ersten und den letzten Absatz beschränken, darin ist alles gesagt 😉

    Dass Douglas Adams die Zahl einfach intuitiv aus der Luft gegriffen hat, wundert mich jetzt nicht. Wenn da irgendeine aufwändige Begründung oder Rechnerei hinterstünde, hätte er es sich bestimmt nicht verkniffen, das irgendwo im Buch zu verwenden.

    @ Yadgar: Dann ist die 720 wohl so nahe am Gegenteil von prim wie man mit vertretbarem Aufwand kommt? Aber die Quersumme des Geburtstags – das ist doch mal eine ungewöhnliche Möglichkeit, Leute zu sortieren…

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  6. anke brehm sagt:

    Ich habs verstanden! Also nicht jede Einzelheit, dafür hätt ich mitrechnen müssen. Aber ich hab kapiert was du da machst und worüber du da schreibst! Ich bewundere ja immer, wenn Leute auf so abartige Art und Weise ihre Zeit verschwenden. Toll! Und witzig! Doch, echt. 🙂

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  7. gnaddrig sagt:

    Freut mich zu hören. Man braucht eben immer mal ein bisschen was Sinnfreies zum Spaß, ich jedenfalls 🙂

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  8. Pfeffermatz sagt:

    Sag ich dir jetzt ja ungern, aber für deinen Graphen hättest du keine binomische Formel gebraucht. Denn (a+b)^2 = 42 genau dann wenn a+b = Wurzel 42 = 6.48… oder a+b = -Wurzel 42 = – 6.48…. Also a = 6.48… – b oder a = – 6.48… – b.
    Mit der binomischen Formel hast du die Klammern aufgelöst (und dir das Leben schwer gemacht), um dann mit der pq-Formel implizit wieder einzuklammern (nix anderes tut die pq-Formel)!

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  9. gnaddrig sagt:

    Ist schon ok, ich bin ja nun auch nicht vom Fach. Das mit Wurzel 42 hätte mir vielleicht auffallen können. Aber ob ich damit etwas hätte anfangen können – zweifelhaft. Formeln umformen und anwenden kann ich soweit ganz gut, wirklich mathematisch denken eher nicht so. Immerhin scheinen meine Rechnereien ja trotz Umständlichkeit soweit korrekt zu sein, und das ist doch auch was wert 🙂

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  10. gnaddrig sagt:

    Außerdem hat’s Spaß gemacht!

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  11. gnaddrig sagt:

    Apropos „auf abwegige Art Zeit verschwenden“ – andere Leute schreiben Studien über die Mortalität und Überlebenschancen in Game of Thrones: “Death is certain, the time is not”: mortality and survival in Game of Thrones (via).

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  12. Yadgar sagt:

    @gnaddrig
    „‚auf abwegige Art Zeit verschwenden'“

    Sollte die Rede von der 50 und mehr Prozent aller Arbeitsplätze überflüssig machenden Digitalisierung, der „Industrie 4.0“ nicht hauptsächlich Clickbait-Hype sein, dann werden in Zukunft nicht gerade wenige Menschen hierzulande ihre Zeit „auf abwegige Art verschwenden“ müssen – es sei denn, Dummheit und Niedertracht übernehmen auch in Deutschland wieder die Macht, dann werden diese Millionen und Abermillionen selbstredend in geschlossenen… äh… Beschäftigungsresidenzen interniert, wo sie dann von früh bis spät unter scharfer Bewachung gesellschaftlich nützliche Arbeiten, wie z. B. Löcher ausheben und wieder zuschütten übernehmen dürfen!

    Es geht mir ja auch nicht anders… oder würde irgendjemand die Verheimorgelung, Atarifizierung und Vervierundsechzigerung des Gesamtwerkes von Edvard Grieg zur Untermalung norwegischer Langzeit-Bahnfahrtenvideos für eine vordringliche Aufgabe zur Sicherung des Überlebens der Menschheit halten?

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  13. gnaddrig sagt:

    Och, Hobbys dienen doch zuallererst der eigenen Erbauung. Das sucht man sich idealerweise nach eigenem Gusto aus, nicht unter Leistungs- oder Nützlichkeitsgesichtspunkten. Weltretten wäre als Nebenwirkung der Hobbyausübung nicht schlecht, ist aber ganz klar optional.

    Insofern ist die Verheimorgelung von Griegs Werk nicht besser oder schlechter als absurde Berechnungen zur 42 oder die Übersetzung altprovencalischer Versepen ins Klingonische oder was weiß ich. Solange es jemandem was bringt und niemandem schadet ist es doch gut.

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  14. Yadgar sagt:

    In den Kommentarspalten der großen Online-Zeitungsportale trifft man sehr häufig auf Zeitgenossen, die die Existenzberechtigung nicht unmittelbar oder gar überhaupt nicht auf materiellen Gewinn gerichteter Tätigkeiten und Interessen radikal in Abrede stellen, ja sogar das schiere Lebensrecht von Menschen, die sich hauptsächlich mit solchen Dingen beschäftigen anzweifeln, nach dem Motto „Denker, Dichter, Philosophen gehören alle in den Ofen“… im Weltbild dieser Leute ist nur steuer- und sozialabgabenpflichtige Arbeit in der industriellen Produktion, allenfalls noch als Ingenieur (bei Naturwissenschaftlern wird es schon kritisch, das sind ja schließlich nicht bloß Chemiker, die neue Materialien für BMW-Bremsbeläge austüfteln, sondern auch so abgedrehte Spinner wie Astronomen oder Klimatologen…) legitimer Lebensinhalt, alles andere hat zu verschwinden bzw. wenigstens nicht von UNSEREN!!! HART!!!!! ERARBEITETEN!!!!!!! STEUERGELDERN!!!!!!!!! gepampert zu werden… aber zum Glück gibt es ja jetzt endlich die Partei, die mit diesem linksgrünversifften Intellektuellengesocks aufräumt! AfD! AfD! AfD! etc. pp. ad nauseam…

    Ich behaupte nicht, dass es diese Sorte vor 20, 35 oder 50 Jahren nicht auch schon gegeben hätte – aber seinerzeit beschränkte sich der Wirkungskreis der Leute auf die Leserbriefrubriken der Blöd-Zeitung und sonstiger Springerblätter, ebenso natürlich die Stammtische miefiger Vorstadt- und Provinzkneipen, alles Orte und Medien, mit denen nur in Berührung kam, wer bewusst und gezielt danach suchte – heute im Internet sind diese verbohrten, verbiesterten Hass- und Frustspießer schlicht allgegenwärtig, man kann ihnen gar nicht entgehen, die haben das Netz regelrecht übernommen! Was ist da bloß schief gelaufen?

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  15. gnaddrig sagt:

    Hast recht, die sind in den letzten Jahren arg laut und dreist geworden. Der politische Mainstream liefert da mit „Fordern und Fördern“ einen passenden Hintergrund. Kein schönes Bild derzeit…

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  16. Pfeffermatz sagt:

    Deswegen ist Mathematik auch so beliebt!

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  17. Pfeffermatz sagt:

    Die sind tatsächlich korrekt, und ich finde deine Begeisterung für mathematische Zusammenhänge und Umformereien toll! Du hättest auch für „vom Fach“ sein können, aber im Leben muss man sich ja entscheiden… Ich habe auch die Schriftstellerei und Sprache allgemein immer geliebt, habe mich dann aber eben andersrum entschieden.

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  18. gnaddrig sagt:

    Umso besser, dass man zumindest per Hobby über die Grenzen des eigenen Fachgebiets begeben und andere Dinge tun kann 🙂

    Und: Beliebt? Bei denen, denen es – unabhängig von der Ahnung – Spaß macht sicher. Zu dem Spaß zu kommen ist nicht jedem gegeben, und Mathelehrer schaffen es oft auch nicht, die nicht so matheaffinen Schüler dort hinzubringen. (Keine Ahnung, ob sie das sollten oder müssten, ist aber schade, dass es meistens nicht passiert.)

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  19. Pfeffermatz sagt:

    Das gilt für uns beide!

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  20. gnaddrig sagt:

    Absolut. Und so gehört da auch 🙂

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  21. […] schummeln manchmal und leisten dann weniger als das UI suggeriert. Auch das, mit dem ich neulich die binomischen Formeln bespielt habe. Die von mir verwendete Software kann nämlich anscheinend […]

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