Flache Erde

Es gibt auch außerhalb von Terry Pratchetts Scheibenwelt Leute, die glauben, die Erde sei eine Scheibe. Wenn die das ernst meinen, ist das manchmal ein bisschen lustig, aber vor allem ziemlich tragisch. Die Idee ist so unsinnig, dass man da inhaltlich gar nicht weiter drauf eingehen muss, und die wenigsten Wissenschaftler äußern sich deshalb überhaupt dazu. Jedenfalls gibt es wohl ungefähr seit Kopernikus keine wissenschaftliche Forschung mehr dazu, keine wissenschaftlichen Aufsätze o.ä., allenfalls populärwissenschaftliche Aufklärung, z.B. von Harald Lesch oder in Schlaumachformaten für Kinder im Fernsehen oder auf YouTube.

Jetzt kann kann man als Flacherdler ziemlich unbeschwert auf der Kugelerde leben, im Alltag macht es praktisch keinen Unterschied, und wenn man Gespräche über die Form der Erde vermeidet, muss man sich damit kaum je wirklich auseinandersetzen. Eine kleine Irritation kann entstehen, wenn man als Flacherdler gleichzeitig an Homöopathie glaubt. Bei der Zubereitung von homöopathischen Mitteln hat es nämlich zumindest in Deutschland Tradition, die zu „potenzierende“ Lösung dabei in Richtung Erdmittelpunkt zu schütteln bzw. zu schlagen.

Das ist nichts Offizielles, es ist nirgendwo vorgeschrieben. Bei Hahnemann steht davon nichts, im einschlägigen §270 des Organon der Heilkunst ist nur von „starken Schüttelstößen mit der Hand gegen einen harten, aber elastischen Körper“ die Rede, ohne Richtungsangabe. Der homöopathische Apotheker Willmar Schwabe schreibt im späten 19. Jh. in seiner Pharmacopoea Homeopathica Polyglotta – einem Standardwerk über die Herstellung homöopathischer Zubereitungen – „kräftige abwärts gerichtete Schüttelschläge des Arms“ vor.

Dieses abwärts gerichtet mag aus praktischen oder, sagen wir, bewegungsökonomischen Erwägungen heraus zustandegekommen sein und wird sich dann vermutlich zu in Richtung Erdmittelpunkt verselbständigt haben – man will es genau nach Vorschrift machen (zumal der alte Hahnemann sehr auf penibler Einhaltung seiner Vorgaben bestand, auch wenn er selbst es damit nicht immer ganz genau nahm). Mehr abwärts als senkrecht geht nicht, und senkrecht zur Erdoberfläche weist eben in Richtung Erdmittelpunkt.

Auf den ersten Blick würde man denken, dass das auf einer flachen Erde nicht möglich ist, weil es dort ja gar keinen Erdmittelpunkt gibt. Aber da mir Gedankenflüge auch ohne praktische Anwendbarkeit Spaß machen, zeige ich im Folgenden, wieso es trotzdem geht. Das hat dann zwar praktisch nichts mit unserer Welt zu tun, aber so muss sich immerhin niemand zumuten lassen, liebgewordene Traditionen bei der Herstellung bestimmter Cocktails aufzugeben. Das Unvereinbare wird vereint, und wir können auch auf einer flachen Erde mit dem Erdmittelpunkt arbeiten. Sogar Jules Vernes Reise zum Mittelpunkt der Erde hätte genau so auch auf der flachen Erde stattfinden können.

** * **

Also: Auf einer (natürlich völlig unrealistischen, aber für dieses Gedankenexperiment mal rein hypothetisch angenommenen) Kugelerde geht ja eine Gerade, die senkrecht auf der (idealisierten, also von allen Unebenheiten geglätteten) Erdoberfläche steht, durch den Erdmittelpunkt. Die idealisierte Erdoberfläche wird durch die Tangente der Erdoberfläche in dem Punkt repräsentiert, an dem auch die Gerade durch sie hindurchgeht. Gerade und Tangente bilden einen rechten Winkel, das gilt unabhängig vom Radius der Kugel. Die Gerade nenne ich der Einfachheit halber Mittelpunktsgerade.

Wenn wir jetzt auf der Oberfläche zwei Punkte in einem bestimmten Abstand auswählen und durch diese Punkte jeweils eine Mittelpunktsgerade konstruieren, treffen diese beiden Geraden sich logischerweise im Erdmittelpunkt M, und zwar ganz egal, wo auf der Kugeloberfläche diese Punkte liegen*. Im Erdmittelpunkt bilden sie den Mittelpunktswinkel α. Der lässt sich ziemlich einfach mit gängiger Mittelstufengeometrie berechnen.

Die folgende Grafik ist vielleicht ein kleines bisschen überladen, aber es ist alles drin, was ich hier erwähne:

Grafik, die einen Kreis, den Mittelpunkt M, den Radius r, zwei Punkte P1 und P2 auf dem Kreis, den zwischen den beiden Punkten liegenden Kreisbogen b, die zwischen den beiden Punkten liegende Kreissehne l, die durch diese Punkte laufenden Mittelpunktshalbgeraden g1 und g2 und den durch sie gebildeten Mittelpunktswinkel α zeigt.

Wir suchen uns jetzt wie oben illustriert zwei Punkte P₁ und P₂, die 10 m voneinander entfernt sind. Die Entfernung wird nicht auf einer Geraden durch diese beiden Punkte gemessen (das wäre die blaue Kreissehne l), sondern entlang der Oberfläche. Das ist der rote Kreisbogen b=10m, also der Weg, den ein Zirkel um den Mittelpunkt zeichnen würde. Die beiden durch diese Punkte verlaufenden dunkelblauen Halbgeraden g₁ und g₂ treffen sich im Erdmittelpunkt mit dem Mittelpunktswinkel α. Bei gleichbleibender Entfernung zwischen unseren beiden Punkten hängt der Winkel  vom Radius ab, also spielen wir jetzt ein wenig mit dem Radius**.

Der Zusammenhang zwischen dem Mittelpunktswinkel α und dem Kreisabschnitt b wird durch die folgende Gleichung dargestellt: b=π·α/180° (Das sieht hier nicht so schön aus, bei Wikipedia findet man die Formel in der gewohnten Form mit waagerechtem Bruchstrich). Das stellen wir nach α um und erhalten: α=(180°·b)/(π·r). Die Formel kann man leicht in einer Tabellenkalkulation nachbauen und dann den Mittelpunktswinkel für jede beliebige Kombination aus Kreisabschnitt und Radius berechnen.

Bei b=10m ergeben sich für die folgenden Radien die folgenden Mittelpunktswinkel:

r=100m ~ 5,73°
r=1’000m ~ 0,57°
r=1’000km ~ 0,00057°
r=1’000’000km ~ 0,000 000 57°
usw., jede Null vor dem Komma des Radius mehr ergibt eine Null hinter dem Komma des Mittelpunktwinkels mehr, schön übersichtlich.

Es zeigt sich, dass der Winkel immer kleiner wird, je größer der Radius unserer Kugelerde ist. Die Zahlenfolge, die den Winkel darstellt, ist mir aber zu wirr, ich hätte da gern was Einfacheres, Einleuchtenderes. Da wir ja sowieso gen unendlich streben, suchen wir uns einfach den Radius, der zu einem Mittelpunktswinkel von 1° führt. Dazu stellen wir die Gleichung nach r um, setzen α=1° und b=10m ein und erhalten 180·b/π·α=572,958m (Der Anfang dieser Ziffernfolge erinnert mich an irgendwas). Wenn wir dann mit Vielfachen dieses Radius spielen, sollten wir immer Winkel mit 0,0…1° kriegen, das sieht dann schön sauber und aufgeräumt aus.

Wenn wir den Radius nun immer weiter ins Unendliche erhöhen, wird der Winkel unendlich klein, irgendwann also praktisch gleich Null. Dann liegt der Treffpunkt der beiden Geraden in unendlicher Entfernung, und die beiden Graden sind damit praktisch parallel. Bei unendlichem Radius ist dann übrigens auch egal, wie weit unsere beiden Punkte voneinander entfernt liegen – die beiden Senkrechten sind bei jedem beliebigen Kreisabschnitt* trotzdem parallel und treffen sich in der Entfernung, die dem Radius entspricht.

Auf einer Scheibenerde kann man also auch senkrecht zur idealisierten Erdoberfläche schütteln und ist dann immer genau in Richtung Erdmittelpunkt unterwegs. Nur ist der Erdmittelpunkt in diesem Fall nur noch eine theoretische Rechengröße und kein realer Ort wie auf der imaginären Kugelerde.

Ein hübscher Nebeneffekt ist, dass die Krümmung des als Flacherde angenommenen Stücks der Kugeloberfläche mit steigendem Radius immer schwächer wird. Bei unendlichem Radius ist die Krümmung unendlich klein, der Kreisbogen b fällt dann mit der Kreissehne l zusammen, und ein als Flacherde hergenommenes beliebiges Stück Erdoberfläche ist damit tatsächlich praktisch flach.

Eine flache Scheibenwelt funktioniert also in Sachen Homöopathie genauso wie eine Kugelerde. Eine Hohlerde, auf deren Innenseite wir herumlaufen, würde egenso funktionieren, die hat ja auch einen offensichtlichen Mittelpunkt, nur müsste man dort, um in Richtung Erdmittelpunkt zu schütteln, nach oben schütteln, vom Erdboden weg. Aber das ist ein Problem, mit dem die Leute auf in der Hohlerde sich herumärgern sollen.

——-

* Frage an die Mathematiker im Publikum: Gilt das auch für α=180°? Da führt ja eine Gerade durch beide Punkte und den Erdmittelpunkt. Ich bin mir nicht schlüssig. Wenn die beiden Punkte sich genau gegenüberliegen, ändert sich daran nichts, egal wie groß der Radius wird, der Winkel muss gleichbleiben. Andererseits strebt ja die Oberflächenkrümmung bei gegen unendlich strebendem Radius gegen Null, und auf einer praktisch flachen Oberfläche kann es keine derart gegenüberliegenden Punkte geben, dass eine Gerade durch beide Punkte und den Erdmittelpunkt führt und an beiden Punkten senkrecht auf der Oberfläche steht.

Ich argwöhne, dass da irgendwas mit der Unendlichkeit nicht stimmt und das Rechnen mit sowas auf, sagen wir, tonhaltigen Füßen steht. Verbiegt die Unendlichkeit das Raum-Zeit-Dingens? Bin ich froh, dass ich nicht Mathematiker werden musste…

** Ein Radius von 150 Längeneinheiten und eine Kreissehne von 180 Längeneinheiten (LE) ergibt einen Mittelpunktswinkel von 73,74° und einen Kreisbogen von 193,051 LE. Der zehnfache Radius, also 1’500 LE, ergibt bei derselben Kreissehne von 180 LE einen Mittelpunktswinkel von 6,88° und einen Kreisbogen von 180,118 LE.

Hier muss ich der Vollständigkeit halber allerdings anmerken, dass ich nicht mit einem Kreisbogen, sondern mit der Kreissehne l gearbeitet habe, weil die unabhängig vom Radius gleich sein kann (dann sind die violetten Hilfslinien parallel, und das macht es anschaulicher; dass ich in Paint Schwierigkeiten gehabt hätte, einen gleichen Kreisbogen auch nur annähernd genau hinzukriegen, lasse ich mal unerwähnt).

Die Kreissehne ist unabhängig vom Radius gleich, aber der Kreisbogen ändert sich dann mit dem Radius, weil der Kreisbogen bei kleinem Radius viel gekrümmter ist, also einen Umweg macht, und bei großem Radius weniger gekrümmt ist und die Punkte daher direkter verbindet. Bei unendlichem Radius fällt der Kreisbogen praktisch mit der Kreissehne zusammen, das hatten wir ja oben schon.

Hier ging es mir um anschauliche Gegenüberstellung zweier verschiedener Radius und der sich daraus ergebenden Mittelpunkgswinkel, darum habe ich die Kreissehne genommen, und da wir sowieso gen unendlich streben, ist es letztlich egal.

Nachtrag:

Aber vielleicht ist es ja auch viel einfacher. Wenn die Scheibenerde ungefähr kreisförmig ist (und das scheint die gängigste Vorstellung von der Flacherde zu sein) hat sie natürlich einen Mittelpunkt. Das ist ganz einfach der Punkt auf der Scheibe, der in jeder Richtung gleichweit vom Rand entfernt ist. Die Stelle, wo die Nadel des Zirkels stecken würde.

Bei einer unregelmäßigen Form der Flacherde könnte man vermutlich auch irgendwie einen geometrischen Mittelpunkt bestimmen, der von von allen Punkten eines geglätteten Randes ungefähr gleichweit entfernt wäre. Und in Richtung dieses Mittelpunkts schüttelt man dann die Flasche, d.h. waagerecht, entlang der Oberfläche.

Das sähe aber sicher doof aus, wäre langweilig und käme ohne viel Wissenschaft aus, und das darf nicht sein, da kenne ich als evidenzhöriger Wissenschaftsdogmatiker nichts. Ich bin sicher, senkrecht zur Erdoberfläche ist spätestens seit Schwabes Buch weithin üblich, praktisch de rigueur, und die Erfahrungen unzähliger Anwender werden das bestimmt bestätigen.

(Die „Keimzelle“ dieses Textes liegt übrigens auf Twitter)

Noch ein Nachtrag:

Man kann so Sachen wie Kreisbögen, Kreissehnen, Mittelpunktswinkel usw. sehr schön auch hier  Mathematik-Seiten von Arndt Brünner berechnen lassen. Dort kriegt man sogar die Rechenwege und die verwendeten Formeln angezeigt. Damit kann man Macken in den eigenen Rechenwegen und allgemeine Probleme mit der Rechnerei ganz gut ausfindig machen.


8 Kommentare on “Flache Erde”

  1. ich bin ja in mathe, besonders was das geometrischen denken angeht, so schrecklich schwach, dass ich mir das immer irgendwie ansehen(!) muss. was ich ebenso matheschwachen menschen ebenfalls empfehle.

    wenn man sich das so ab sekunde 40 anschaut, wird klar, dass der mittelpunkt irgendwo im panzer der schildkröte liegt. ist doch klar, oder?

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  2. Mindsplint sagt:

    Sorry, aber jetzt ist mir irgendwie etwas schwindelig …. 🌐🌍🙃😞

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  3. nömix sagt:

    @ »Gilt das auch für α=180°? Da führt ja eine Gerade durch beide Punkte und den Erdmittelpunkt.«

    Nein, das funktioniert nur bei einer unendlich großen Kugel, an der die beiden Punkte die (unendlich weit voneinander entfernten) Antipoden darstellen. Ist die Erde aber eine Scheibe, gibt es für keinen Punkt auf der Erdoberfläche eine Antipode als gegenüberliegenden Referenzpunkt. An einer Scheibe gibt’s nur eine Oberseite und eine Unterseite.

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  4. Achim sagt:

    Nömix hat mein Unbehagen beim Lesen erspürt… Auch wenn r gegen ∞ strebt, so beschreibt es doch immer noch eine Kugel. Eine Kugel kann man dadurch definieren, dass Linien, die an jeder beliebigen Stelle lotrecht nach unten führt, sich alle an der gleichen Stellen schneien. Meinetwegen in der Unendlichkeit, aber sie schneiden sich. Die Linien, die man in der Scheibenwelt senkrecht nach unten zieht, treffen sich erst jenseits der Unendlichkeit. Oder so. Jetzt sollte ich besser schlafen gehn…

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  5. gnaddrig sagt:

    Banausen, das ist alles wasserdicht, ich habe RECHT!eins!

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  6. gnaddrig sagt:

    Och, Menno!

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  7. […] hatten ja neulich schon gesehen, dass die Krümmung einer Kugeloberfläche umso geringer wird, je größer der Radius […]

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