Unendlichkeiten

Wir hatten ja neulich schon gesehen, dass die Krümmung einer Kugeloberfläche umso geringer wird, je größer der Radius der Kugel wird. Dass also die Längendifferenz zwischen einem Kreisbogen und der zugehörigen Kreissehne mit wachsendem Radius sinkt und gegen Null strebt. Die Krümmung des Kreisbogens geht gegen Null, der Kreisbogen fällt irgendwann fast so gut wie mit der Kreissehne zusammen, nämlich dann, wenn der Radius gegen unendlich strebt (und der Umfang damit ebenfalls gegen unendlich strebt, allerdings nach der Formel U=2πr ein anderes Unendlich)

Jetzt ist mir da eine andere interessante Sache aufgefallen. Wenn wir in die andere Richtung gehen, also unsere fixe Kreissehne nehmen und den Radius des Kreises immer kleiner machen, wächst der Längenunterschied zwischen unserer Kreissehne und dem zugehörigen Kreisbogen, weil die Kreisoberfläche dann immer stärker gekrümmt ist. Wenn wir den Radius gegen Null streben lassen, ihn also unendlich klein machen, müsste der Kreisbogen entsprechend gegen Unendlich streben. Daraus folgt direkt, dass die Erde umso größer wird je kleiner ihr Radius ist.

(Man verzeihe mir, dass ich hier Kugeln und Kreise ein wenig durcheinanderwerfe und praktisch synonym verwende; alles, was ich hier an Kreisen gerechnet habe, gilt für Kugeln entsprechend. Ja, Kollege Nömix, Sie sind gemeint!)

Die gängige Formel für die Berechnung des Kreisbogens funktioniert wegen der phantasielosen Pingeligkeit der trotz oftmals skurriler Entdeckungen ihrer Protagonisten manchmal zu zaghaften, hm, Schulmathematik nur bis r=1/2 l. Wenn der Radius die Hälfte der Kreissehne unterschreitet, liefert die Formel einen Fehler. Dabei steigt die Krümmung der Kreislinie ja weiter, auch wenn der Radius weniger als die Hälfte der Kreissehne beträgt. Und von dieser Krümmung hängt ja der Unterschied zwischen Kreisbogen und Kreissehne ab, nicht von der herkömmlichen Darstellbarkeit des Gebildes.

(Dass diese Darstellbarkeit ziemlich unwesentlich ist, sieht man auch daran, dass ständig irgendwo ganz ernsthaft mit höheren Dimensionen gerechnet wird, und solange mir niemand das fünfdimensionale Äquivalent zu einem Würfel oder einer Kugel bildlich darstellen kann, kann ich auch mit für meine Kreissehne zu kleinen Radien arbeiten. Da verschränkt sich die Kreissehne einfach im kleiner werdenden Kreis, und so haben wir auch ganz elegant noch die Speerspitze der theoretischen Physik untergebracht, Quanten und Strings und so, hängt ja alles mit allem zusammen. Es gibt mehr Ding’ im Himmel und auf Erden, als Eure Schulweisheit sich träumt, wie schon ein, hm, aus Film und Fernsehen bekannter dänischer Prinz zu berichten wusste.)

Ich habe also die Formel für die Berechnung des Kreisbogens zu einer beliebigen Kombination aus Radius und Kreissehne als Funktion in den großartigen Desmos Graphing Calculator gefüttert und die folgende Kurve erhalten (das übliche Tabellenkalkulationsprogramm hat die Rechnungen zwar sehr schön ausgeführt, hat sich aber von mir nicht zur Darstellung des Graphen in halbwegs brauchbarer Form überreden lassen; so eine Kurve von Hand in Paint zu basteln war mir dann doch zuviel, es gibt Grenzen).

Man sieht, die Kurve ist allergrößtenteils sehr flach:

Koordinatensystem, das über dem auf der x-Achse aufgetragenen Kreisradius r die Länge der Kreisbögen als y-Wert zeigt, die zu einer fixen Kreissehne l gehören. Für r<l/2 gibt es keine Werte, die Kurve endet in der Luft. Meine Kreissehne ist 180 Längeneinheiten lang, und für den Radius von 90 ergibt sich ein Kreisbogen der Länge 282,74 Längeneinheiten. Mit wachsendem Radius wird der Kreisbogen schnell deutlich kürzer und schmiegt sich gegen einen Wert um 180. Zu sehen ist die y-Achse bis 2500, die x-Achse von -2500 bis 22500.

Die Funktion liefert natürlich auch Werte für negative Radien; da es sowas außerhalb vielleicht von Welten wie Alice im Wunderland nicht gibt, können wir die negative Seite der Kurve vernachlässigen. Schauen wir uns einen kürzeren Abschnitt der positiven Seite an:

Weil ich hier an der Kurve bei kleineren Radien interessiert bin, habe ich die berechnete rote Kurve mithilfe des anerkannten wissenschaftlichen Verfahrens der Extrapolation einfach in blau dort weitergeführt, wo sie rechnerisch abbricht. Und da sieht man dann sehr schön, dass der Umfang der Erde gegen unendlich strebt, je kleiner der Radius wird. Schon Archimedes hat ja gesagt: Gib mir einen Punkt, wo ich sicher stehen kann, [einen Hebel, der lang genug ist,] und ich bewege die Erde mit einer Hand. Das passt hier auch irgendwie.

Eine unendlich kleine Erde wäre also unendlich groß und gleichzeitig gewissermaßen kleiner als die Summe ihrer Teile.


2 Kommentare on “Unendlichkeiten”

  1. finbarsgift sagt:

    Cool 🔹️🔺️🔷️⚫

    Gefällt 1 Person

  2. gnaddrig sagt:

    Danke 🙂

    Gefällt 1 Person


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